Pascal's triangle with multiplied columns

Studies of Boolean functions
sequences related to Boolean functions

Many number triangles related to Boolean functions are Pascal's triangle with columns multiplied by the entries of a sequence.

Compare Triangle Oak with multiplied columns.

🌊 Pascal
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1						1
1	1	1					2
2	1	2	1				4
3	1	3	3	1			8
4	1	4	6	4	1		16
5	1	5	10	10	5	1	32

💧 PascalDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1						1
1	0	1					1
2	0	1	1				2
3	0	1	2	1			4
4	0	1	3	3	1		8
5	0	1	4	6	4	1	16

related to Boolean functions

triangle pair ExPascal diagonal powers of two

Pascal with columns multiplied by powers of two

🌊 triangle ExPascal (A013609) row sums Fern (A000244)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1 · 1 1											1
1	1 · 1 1	1 · 2 2										3
2	1 · 1 1	2 · 2 4	1 · 4 4									9
3	1 · 1 1	3 · 2 6	3 · 4 12	1 · 8 8								27
4	1 · 1 1	4 · 2 8	6 · 4 24	4 · 8 32	1 · 16 16							81
5	1 · 1 1	5 · 2 10	10 · 4 40	10 · 8 80	5 · 16 80	1 · 32 32						243
6	1 · 1 1	6 · 2 12	15 · 4 60	20 · 8 160	15 · 16 240	6 · 32 192	1 · 64 64					729
7	1 · 1 1	7 · 2 14	21 · 4 84	35 · 8 280	35 · 16 560	21 · 32 672	7 · 64 448	1 · 128 128				2187
8	1 · 1 1	8 · 2 16	28 · 4 112	56 · 8 448	70 · 16 1120	56 · 32 1792	28 · 64 1792	8 · 128 1024	1 · 256 256			6561
9	1 · 1 1	9 · 2 18	36 · 4 144	84 · 8 672	126 · 16 2016	126 · 32 4032	84 · 64 5376	36 · 128 4608	9 · 256 2304	1 · 512 512		19683
10	1 · 1 1	10 · 2 20	45 · 4 180	120 · 8 960	210 · 16 3360	252 · 32 8064	210 · 64 13440	120 · 128 15360	45 · 256 11520	10 · 512 5120	1 · 1024 1024	59049

PascalDrop with columns multiplied by powers of two

💧 triangle ExPascalDrop (~A370469) row sums FernDrop (A025192)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1 · 1 1											1
1	0	1 · 2 2										2
2	0	1 · 2 2	1 · 4 4									6
3	0	1 · 2 2	2 · 4 8	1 · 8 8								18
4	0	1 · 2 2	3 · 4 12	3 · 8 24	1 · 16 16							54
5	0	1 · 2 2	4 · 4 16	6 · 8 48	4 · 16 64	1 · 32 32						162
6	0	1 · 2 2	5 · 4 20	10 · 8 80	10 · 16 160	5 · 32 160	1 · 64 64					486
7	0	1 · 2 2	6 · 4 24	15 · 8 120	20 · 16 320	15 · 32 480	6 · 64 384	1 · 128 128				1458
8	0	1 · 2 2	7 · 4 28	21 · 8 168	35 · 16 560	35 · 32 1120	21 · 64 1344	7 · 128 896	1 · 256 256			4374
9	0	1 · 2 2	8 · 4 32	28 · 8 224	56 · 16 896	70 · 32 2240	56 · 64 3584	28 · 128 3584	8 · 256 2048	1 · 512 512		13122
10	0	1 · 2 2	9 · 4 36	36 · 8 288	84 · 16 1344	126 · 32 4032	126 · 64 8064	84 · 128 10752	36 · 256 9216	9 · 512 4608	1 · 1024 1024	39366

triangle pair Cedar diagonal Grass + half

Pascal with columns multiplied by Grass

🌊 triangle Cedar row sums Crocus
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	1 · 2 2	1 · 4 4					6
2	1 · 2 2	2 · 4 8	1 · 16 16				26
3	1 · 2 2	3 · 4 12	3 · 16 48	1 · 256 256			318
4	1 · 2 2	4 · 4 16	6 · 16 96	4 · 256 1024	1 · 65536 65536		66674
5	1 · 2 2	5 · 4 20	10 · 16 160	10 · 256 2560	5 · 65536 327680	1 · 4294967296 4294967296	4295297718

PascalDrop with columns multiplied by Grass

💧 triangle CedarDrop row sums CrocusDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	0	1 · 4 4					4
2	0	1 · 4 4	1 · 16 16				20
3	0	1 · 4 4	2 · 16 32	1 · 256 256			292
4	0	1 · 4 4	3 · 16 48	3 · 256 768	1 · 65536 65536		66356
5	0	1 · 4 4	4 · 16 64	6 · 256 1536	4 · 65536 262144	1 · 4294967296 4294967296	4295231044

triangle pair HalfCedar diagonal HalfGrass

Pascal with columns multiplied by HalfGrass

🌊 triangle HalfCedar row sums HalfCrocus (A246418)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	1 · 1 1	1 · 2 2					3
2	1 · 1 1	2 · 2 4	1 · 8 8				13
3	1 · 1 1	3 · 2 6	3 · 8 24	1 · 128 128			159
4	1 · 1 1	4 · 2 8	6 · 8 48	4 · 128 512	1 · 32768 32768		33337
5	1 · 1 1	5 · 2 10	10 · 8 80	10 · 128 1280	5 · 32768 163840	1 · 2147483648 2147483648	2147648859

PascalDrop with columns multiplied by HalfGrass

💧 triangle HalfCedarDrop row sums HalfCrocusDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	0	1 · 2 2					2
2	0	1 · 2 2	1 · 8 8				10
3	0	1 · 2 2	2 · 8 16	1 · 128 128			146
4	0	1 · 2 2	3 · 8 24	3 · 128 384	1 · 32768 32768		33178
5	0	1 · 2 2	4 · 8 32	6 · 128 768	4 · 32768 131072	1 · 2147483648 2147483648	2147615522

triangle pair Hickory diagonal NonLotus

Pascal with columns multiplied by NonLotus

🌊 triangle Hickory row sums Hyacinth (2·A059301)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	1 · 0 0	1 · 2 2					2
2	1 · 0 0	2 · 2 4	1 · 6 6				10
3	1 · 0 0	3 · 2 6	3 · 6 18	1 · 38 38			62
4	1 · 0 0	4 · 2 8	6 · 6 36	4 · 38 152	1 · 942 942		1138
5	1 · 0 0	5 · 2 10	10 · 6 60	10 · 38 380	5 · 942 4710	1 · 325262 325262	330422

PascalDrop with columns multiplied by NonLotus

💧 triangle HickoryDrop row sums HyacinthDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	0	1 · 2 2					2
2	0	1 · 2 2	1 · 6 6				8
3	0	1 · 2 2	2 · 6 12	1 · 38 38			52
4	0	1 · 2 2	3 · 6 18	3 · 38 114	1 · 942 942		1076
5	0	1 · 2 2	4 · 6 24	6 · 38 228	4 · 942 3768	1 · 325262 325262	329284

triangle pair Robinia diagonal Violet

Pascal with columns multiplied by Violet

🌊 triangle Robinia row sums Primula (A246537)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	1 · 1 1	1 · 0 0					1
2	1 · 1 1	2 · 0 0	1 · 2 2				3
3	1 · 1 1	3 · 0 0	3 · 2 6	1 · 90 90			97
4	1 · 1 1	4 · 0 0	6 · 2 12	4 · 90 360	1 · 31826 31826		32199
5	1 · 1 1	5 · 0 0	10 · 2 20	10 · 90 900	5 · 31826 159130	1 · 2147158386 2147158386	2147318437

PascalDrop with columns multiplied by Violet

💧 triangle RobiniaDrop row sums PrimulaDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	0	1 · 0 0					0
2	0	1 · 0 0	1 · 2 2				2
3	0	1 · 0 0	2 · 2 4	1 · 90 90			94
4	0	1 · 0 0	3 · 2 6	3 · 90 270	1 · 31826 31826		32102
5	0	1 · 0 0	4 · 2 8	6 · 90 540	4 · 31826 127304	1 · 2147158386 2147158386	2147286238

triangle pair Willow diagonal Lotus + half

Pascal with columns multiplied by Lotus

🌊 triangle Willow row sums Grass (A001146)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	1 · 2 2	1 · 2 2					4
2	1 · 2 2	2 · 2 4	1 · 10 10				16
3	1 · 2 2	3 · 2 6	3 · 10 30	1 · 218 218			256
4	1 · 2 2	4 · 2 8	6 · 10 60	4 · 218 872	1 · 64594 64594		65536
5	1 · 2 2	5 · 2 10	10 · 10 100	10 · 218 2180	5 · 64594 322970	1 · 4294642034 4294642034	4294967296

PascalDrop with columns multiplied by Lotus

💧 triangle WillowDrop row sums GrassDrop (~A111403)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	0	1 · 2 2					2
2	0	1 · 2 2	1 · 10 10				12
3	0	1 · 2 2	2 · 10 20	1 · 218 218			240
4	0	1 · 2 2	3 · 10 30	3 · 218 654	1 · 64594 64594		65280
5	0	1 · 2 2	4 · 10 40	6 · 218 1308	4 · 64594 258376	1 · 4294642034 4294642034	4294901760

triangle pair HalfWillow diagonal HalfLotus

Pascal with columns multiplied by HalfLotus

🌊 triangle HalfWillow row sums HalfGrass (~A058891)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	1 · 1 1	1 · 1 1					2
2	1 · 1 1	2 · 1 2	1 · 5 5				8
3	1 · 1 1	3 · 1 3	3 · 5 15	1 · 109 109			128
4	1 · 1 1	4 · 1 4	6 · 5 30	4 · 109 436	1 · 32297 32297		32768
5	1 · 1 1	5 · 1 5	10 · 5 50	10 · 109 1090	5 · 32297 161485	1 · 2147321017 2147321017	2147483648

PascalDrop with columns multiplied by HalfLotus

💧 triangle HalfWillowDrop row sums HalfGrassDrop (~A040996)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	0	1 · 1 1					1
2	0	1 · 1 1	1 · 5 5				6
3	0	1 · 1 1	2 · 5 10	1 · 109 109			120
4	0	1 · 1 1	3 · 5 15	3 · 109 327	1 · 32297 32297		32640
5	0	1 · 1 1	4 · 5 20	6 · 109 654	4 · 32297 129188	1 · 2147321017 2147321017	2147450880

triangle pair Chestnut diagonal Pansy

Pascal with columns multiplied by Pansy

🌊 triangle Chestnut row sums ~Grass
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	1 · 2 2	1 · 0 0					2
2	1 · 2 2	2 · 0 0	1 · 2 2				4
3	1 · 2 2	3 · 0 0	3 · 2 6	1 · 8 8			16
4	1 · 2 2	4 · 0 0	6 · 2 12	4 · 8 32	1 · 210 210		256
5	1 · 2 2	5 · 0 0	10 · 2 20	10 · 8 80	5 · 210 1050	1 · 64384 64384	65536

PascalDrop with columns multiplied by Pansy

💧 triangle ChestnutDrop row sums ~GrassDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	0	1 · 0 0					0
2	0	1 · 0 0	1 · 2 2				2
3	0	1 · 0 0	2 · 2 4	1 · 8 8			12
4	0	1 · 0 0	3 · 2 6	3 · 8 24	1 · 210 210		240
5	0	1 · 0 0	4 · 2 8	6 · 8 48	4 · 210 840	1 · 64384 64384	65280

triangle pair Chinkapin diagonal Peony

Pascal with columns multiplied by Peony

🌊 triangle Chinkapin row sums ~Grass
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	1 · 0 0	1 · 2 2					2
2	1 · 0 0	2 · 2 4	1 · 0 0				4
3	1 · 0 0	3 · 2 6	3 · 0 0	1 · 10 10			16
4	1 · 0 0	4 · 2 8	6 · 0 0	4 · 10 40	1 · 208 208		256
5	1 · 0 0	5 · 2 10	10 · 0 0	10 · 10 100	5 · 208 1040	1 · 64386 64386	65536

PascalDrop with columns multiplied by Peony

💧 triangle ChinkapinDrop row sums ~GrassDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	0	1 · 2 2					2
2	0	1 · 2 2	1 · 0 0				2
3	0	1 · 2 2	2 · 0 0	1 · 10 10			12
4	0	1 · 2 2	3 · 0 0	3 · 10 30	1 · 208 208		240
5	0	1 · 2 2	4 · 0 0	6 · 10 60	4 · 208 832	1 · 64386 64386	65280

related to seals

triangle pair Ash diagonal Aster

Pascal with columns multiplied by Aster

🌊 triangle Ash row sums Daisy (A006116)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 1 1							2
2	1 · 1 1	2 · 1 2	1 · 2 2						5
3	1 · 1 1	3 · 1 3	3 · 2 6	1 · 6 6					16
4	1 · 1 1	4 · 1 4	6 · 2 12	4 · 6 24	1 · 26 26				67
5	1 · 1 1	5 · 1 5	10 · 2 20	10 · 6 60	5 · 26 130	1 · 158 158			374
6	1 · 1 1	6 · 1 6	15 · 2 30	20 · 6 120	15 · 26 390	6 · 158 948	1 · 1330 1330		2825
7	1 · 1 1	7 · 1 7	21 · 2 42	35 · 6 210	35 · 26 910	21 · 158 3318	7 · 1330 9310	1 · 15414 15414	29212

PascalDrop with columns multiplied by Aster

💧 triangle Aspen row sums Dahlia (~A182176)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 1 1							1
2	0	1 · 1 1	1 · 2 2						3
3	0	1 · 1 1	2 · 2 4	1 · 6 6					11
4	0	1 · 1 1	3 · 2 6	3 · 6 18	1 · 26 26				51
5	0	1 · 1 1	4 · 2 8	6 · 6 36	4 · 26 104	1 · 158 158			307
6	0	1 · 1 1	5 · 2 10	10 · 6 60	10 · 26 260	5 · 158 790	1 · 1330 1330		2451
7	0	1 · 1 1	6 · 2 12	15 · 6 90	20 · 26 520	15 · 158 2370	6 · 1330 7980	1 · 15414 15414	26387

triangle pair Sloe diagonal Verbena

Pascal with columns multiplied by Ambrosia

🌊 triangle Sloe row sums Valerian
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 1 1							2
2	1 · 1 1	2 · 1 2	1 · 2 2						5
3	1 · 1 1	3 · 1 3	3 · 2 6	1 · 6 6					16
4	1 · 1 1	4 · 1 4	6 · 2 12	4 · 6 24	1 · 20 20				61
5	1 · 1 1	5 · 1 5	10 · 2 20	10 · 6 60	5 · 20 100	1 · 78 78			264
6	1 · 1 1	6 · 1 6	15 · 2 30	20 · 6 120	15 · 20 300	6 · 78 468	1 · 300 300		1225
7	1 · 1 1	7 · 1 7	21 · 2 42	35 · 6 210	35 · 20 700	21 · 78 1638	7 · 300 2100	1 · 1092 1092	5790

PascalDrop with columns multiplied by Ambrosia

💧 triangle SloeDrop row sums ValerianDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 1 1							1
2	0	1 · 1 1	1 · 2 2						3
3	0	1 · 1 1	2 · 2 4	1 · 6 6					11
4	0	1 · 1 1	3 · 2 6	3 · 6 18	1 · 20 20				45
5	0	1 · 1 1	4 · 2 8	6 · 6 36	4 · 20 80	1 · 78 78			203
6	0	1 · 1 1	5 · 2 10	10 · 6 60	10 · 20 200	5 · 78 390	1 · 300 300		961
7	0	1 · 1 1	6 · 2 12	15 · 6 90	20 · 20 400	15 · 78 1170	6 · 300 1800	1 · 1092 1092	4565

triangle pair Pine diagonal Geranium

Pascal with columns multiplied by Geranium

🌊 triangle Pine row sums Aster
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	sums
0	1 · 1 1										1
1	1 · 1 1	1 · 0 0									1
2	1 · 1 1	2 · 0 0	1 · 1 1								2
3	1 · 1 1	3 · 0 0	3 · 1 3	1 · 2 2							6
4	1 · 1 1	4 · 0 0	6 · 1 6	4 · 2 8	1 · 11 11						26
5	1 · 1 1	5 · 0 0	10 · 1 10	10 · 2 20	5 · 11 55	1 · 72 72					158
6	1 · 1 1	6 · 0 0	15 · 1 15	20 · 2 40	15 · 11 165	6 · 72 432	1 · 677 677				1330
7	1 · 1 1	7 · 0 0	21 · 1 21	35 · 2 70	35 · 11 385	21 · 72 1512	7 · 677 4739	1 · 8686 8686			15414
8	1 · 1 1	8 · 0 0	28 · 1 28	56 · 2 112	70 · 11 770	56 · 72 4032	28 · 677 18956	8 · 8686 69488	1 · 152191 152191		245578
9	1 · 1 1	9 · 0 0	36 · 1 36	84 · 2 168	126 · 11 1386	126 · 72 9072	84 · 677 56868	36 · 8686 312696	9 · 152191 1369719	1 · 3632916 3632916	5382862

PascalDrop with columns multiplied by Geranium

💧 triangle PineDrop row sums AsterDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	sums
0	1 · 1 1										1
1	0	1 · 0 0									0
2	0	1 · 0 0	1 · 1 1								1
3	0	1 · 0 0	2 · 1 2	1 · 2 2							4
4	0	1 · 0 0	3 · 1 3	3 · 2 6	1 · 11 11						20
5	0	1 · 0 0	4 · 1 4	6 · 2 12	4 · 11 44	1 · 72 72					132
6	0	1 · 0 0	5 · 1 5	10 · 2 20	10 · 11 110	5 · 72 360	1 · 677 677				1172
7	0	1 · 0 0	6 · 1 6	15 · 2 30	20 · 11 220	15 · 72 1080	6 · 677 4062	1 · 8686 8686			14084
8	0	1 · 0 0	7 · 1 7	21 · 2 42	35 · 11 385	35 · 72 2520	21 · 677 14217	7 · 8686 60802	1 · 152191 152191		230164
9	0	1 · 0 0	8 · 1 8	28 · 2 56	56 · 11 616	70 · 72 5040	56 · 677 37912	28 · 8686 243208	8 · 152191 1217528	1 · 3632916 3632916	5137284

triangle pair Fir diagonal Gardenia

Pascal with columns multiplied by Gardenia

🌊 triangle Fir row sums Ambrosia
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 0 0							1
2	1 · 1 1	2 · 0 0	1 · 1 1						2
3	1 · 1 1	3 · 0 0	3 · 1 3	1 · 2 2					6
4	1 · 1 1	4 · 0 0	6 · 1 6	4 · 2 8	1 · 5 5				20
5	1 · 1 1	5 · 0 0	10 · 1 10	10 · 2 20	5 · 5 25	1 · 22 22			78
6	1 · 1 1	6 · 0 0	15 · 1 15	20 · 2 40	15 · 5 75	6 · 22 132	1 · 37 37		300
7	1 · 1 1	7 · 0 0	21 · 1 21	35 · 2 70	35 · 5 175	21 · 22 462	7 · 37 259	1 · 104 104	1092

PascalDrop with columns multiplied by Gardenia

💧 triangle FirDrop row sums AmbrosiaDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 0 0							0
2	0	1 · 0 0	1 · 1 1						1
3	0	1 · 0 0	2 · 1 2	1 · 2 2					4
4	0	1 · 0 0	3 · 1 3	3 · 2 6	1 · 5 5				14
5	0	1 · 0 0	4 · 1 4	6 · 2 12	4 · 5 20	1 · 22 22			58
6	0	1 · 0 0	5 · 1 5	10 · 2 20	10 · 5 50	5 · 22 110	1 · 37 37		222
7	0	1 · 0 0	6 · 1 6	15 · 2 30	20 · 5 100	15 · 22 330	6 · 37 222	1 · 104 104	792

triangle pair Spruce diagonal Gladiolus

Pascal with columns multiplied by Gladiolus

🌊 triangle Spruce row sums Akanthus
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 0 0							1
2	1 · 1 1	2 · 0 0	1 · 1 1						2
3	1 · 1 1	3 · 0 0	3 · 1 3	1 · 2 2					6
4	1 · 1 1	4 · 0 0	6 · 1 6	4 · 2 8	1 · 5 5				20
5	1 · 1 1	5 · 0 0	10 · 1 10	10 · 2 20	5 · 5 25	1 · 12 12			68
6	1 · 1 1	6 · 0 0	15 · 1 15	20 · 2 40	15 · 5 75	6 · 12 72	1 · 17 17		220
7	1 · 1 1	7 · 0 0	21 · 1 21	35 · 2 70	35 · 5 175	21 · 12 252	7 · 17 119	1 · 26 26	664

PascalDrop with columns multiplied by Gladiolus

💧 triangle SpruceDrop row sums AkanthusDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 0 0							0
2	0	1 · 0 0	1 · 1 1						1
3	0	1 · 0 0	2 · 1 2	1 · 2 2					4
4	0	1 · 0 0	3 · 1 3	3 · 2 6	1 · 5 5				14
5	0	1 · 0 0	4 · 1 4	6 · 2 12	4 · 5 20	1 · 12 12			48
6	0	1 · 0 0	5 · 1 5	10 · 2 20	10 · 5 50	5 · 12 60	1 · 17 17		152
7	0	1 · 0 0	6 · 1 6	15 · 2 30	20 · 5 100	15 · 12 180	6 · 17 102	1 · 26 26	444