Triangle Oak with multiplied columns

Studies of Boolean functions
sequences related to Boolean functions

Many number triangles related to Boolean functions are the triangle of 2-binomial coefficients, here called Oak, with columns multiplied by the entries of a sequence.

Compare Pascal's triangle with multiplied columns.

triangle pair Oak

🌊 triangle Oak (A022166) row sums Daisy (A006116)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1								1
1	1	1							2
2	1	3	1						5
3	1	7	7	1					16
4	1	15	35	15	1				67
5	1	31	155	155	31	1			374
6	1	63	651	1395	651	63	1		2825
7	1	127	2667	11811	11811	2667	127	1	29212

💧 triangle OakDrop (~A289537) row sums Dahlia (~A182176)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1								1
1	0	1							1
2	0	2	1						3
3	0	4	6	1					11
4	0	8	28	14	1				51
5	0	16	120	140	30	1			307
6	0	32	496	1240	620	62	1		2451
7	0	64	2016	10416	11160	2604	126	1	26387

related to Boolean functions

triangle pair ExOlive diagonal ExAloe + half

Oak with columns multiplied by ExAloe

🌊 triangle ExOlive row sums Grass
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	1 · 2 2	1 · 2 2					4
2	1 · 2 2	3 · 2 6	1 · 8 8				16
3	1 · 2 2	7 · 2 14	7 · 8 56	1 · 184 184			256
4	1 · 2 2	15 · 2 30	35 · 8 280	15 · 184 2760	1 · 62464 62464		65536
5	1 · 2 2	31 · 2 62	155 · 8 1240	155 · 184 28520	31 · 62464 1936384	1 · 4293001088 4293001088	4294967296

OakDrop with columns multiplied by ExAloe

💧 triangle ExOliveDrop row sums GrassDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	0	1 · 2 2					2
2	0	2 · 2 4	1 · 8 8				12
3	0	4 · 2 8	6 · 8 48	1 · 184 184			240
4	0	8 · 2 16	28 · 8 224	14 · 184 2576	1 · 62464 62464		65280
5	0	16 · 2 32	120 · 8 960	140 · 184 25760	30 · 62464 1873920	1 · 4293001088 4293001088	4294901760

triangle pair HalfExOlive diagonal HalfExAloe
Template:Triangle pair HalfExOlive

triangle pair Olive diagonal Aloe

Oak with columns multiplied by Aloe

🌊 triangle Olive (A227725) row sums Thyme (A000231)
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	1 · 2 2	1 · 1 1					3
2	1 · 2 2	3 · 1 3	1 · 2 2				7
3	1 · 2 2	7 · 1 7	7 · 2 14	1 · 23 23			46
4	1 · 2 2	15 · 1 15	35 · 2 70	15 · 23 345	1 · 3904 3904		4336
5	1 · 2 2	31 · 1 31	155 · 2 310	155 · 23 3565	31 · 3904 121024	1 · 134156284 134156284	134281216

OakDrop with columns multiplied by Aloe

💧 triangle OliveDrop row sums ThymeDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 2 2						2
1	0	1 · 1 1					1
2	0	2 · 1 2	1 · 2 2				4
3	0	4 · 1 4	6 · 2 12	1 · 23 23			39
4	0	8 · 1 8	28 · 2 56	14 · 23 322	1 · 3904 3904		4290
5	0	16 · 1 16	120 · 2 240	140 · 23 3220	30 · 3904 117120	1 · 134156284 134156284	134276880

triangle pair Laurel diagonal Agave

Oak with columns multiplied by Agave

🌊 triangle Laurel (A227724) row sums Saffron
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	1 · 0 0	1 · 1 1					1
2	1 · 0 0	3 · 1 3	1 · 0 0				3
3	1 · 0 0	7 · 1 7	7 · 0 0	1 · 7 7			14
4	1 · 0 0	15 · 1 15	35 · 0 0	15 · 7 105	1 · 750 750		870
5	1 · 0 0	31 · 1 31	155 · 0 0	155 · 7 1085	31 · 750 23250	1 · 18771864 18771864	18796230

OakDrop with columns multiplied by Agave

💧 triangle LaurelDrop row sums SaffronDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 0 0						0
1	0	1 · 1 1					1
2	0	2 · 1 2	1 · 0 0				2
3	0	4 · 1 4	6 · 0 0	1 · 7 7			11
4	0	8 · 1 8	28 · 0 0	14 · 7 98	1 · 750 750		856
5	0	16 · 1 16	120 · 0 0	140 · 7 980	30 · 750 22500	1 · 18771864 18771864	18795360

triangle pair Forsythia diagonal truncated Aloe

Oak with columns multiplied by truncated Aloe

🌊 triangle Forsythia row sums Dandelion
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	1 · 1 1	1 · 2 2					3
2	1 · 1 1	3 · 2 6	1 · 23 23				30
3	1 · 1 1	7 · 2 14	7 · 23 161	1 · 3904 3904			4080
4	1 · 1 1	15 · 2 30	35 · 23 805	15 · 3904 58560	1 · 134156284 134156284		134215680
5	1 · 1 1	31 · 2 62	155 · 23 3565	155 · 3904 605120	31 · 134156284 4158844804	1 · 288230371925149328 288230371925149328	288230376084602880

OakDrop with columns multiplied by truncated Aloe

💧 triangle ForsythiaDrop row sums DandelionDrop
k n	0	1	2	3	4	5	sums
0	1 · 1 1						1
1	0	1 · 2 2					2
2	0	2 · 2 4	1 · 23 23				27
3	0	4 · 2 8	6 · 23 138	1 · 3904 3904			4050
4	0	8 · 2 16	28 · 23 644	14 · 3904 54656	1 · 134156284 134156284		134211600
5	0	16 · 2 32	120 · 23 2760	140 · 3904 546560	30 · 134156284 4024688520	1 · 288230371925149328 288230371925149328	288230375950387200

triangle pair Rhododendron diagonal Chrysanthemum

Oak with columns multiplied by Chrysanthemum

🌊 triangle Rhododendron row sums Ranunculus (A028361)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 1 1							2
2	1 · 1 1	3 · 1 3	1 · 2 2						6
3	1 · 1 1	7 · 1 7	7 · 2 14	1 · 8 8					30
4	1 · 1 1	15 · 1 15	35 · 2 70	15 · 8 120	1 · 64 64				270
5	1 · 1 1	31 · 1 31	155 · 2 310	155 · 8 1240	31 · 64 1984	1 · 1024 1024			4590
6	1 · 1 1	63 · 1 63	651 · 2 1302	1395 · 8 11160	651 · 64 41664	63 · 1024 64512	1 · 32768 32768		151470
7	1 · 1 1	127 · 1 127	2667 · 2 5334	11811 · 8 94488	11811 · 64 755904	2667 · 1024 2731008	127 · 32768 4161536	1 · 2097152 2097152	9845550

OakDrop with columns multiplied by Chrysanthemum.

💧 triangle RhododendronDrop row sums RanunculusDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 * 1 1								1
1	0	1 * 1 1							1
2	0	2 * 1 2	1 * 2 2						4
3	0	4 * 1 4	6 * 2 12	1 * 8 8					24
4	0	8 * 1 8	28 * 2 56	14 * 8 112	1 * 64 64				240
5	0	16 * 1 16	120 * 2 240	140 * 8 1120	30 * 64 1920	1 * 1024 1024			4320
6	0	32 * 1 32	496 * 2 992	1240 * 8 9920	620 * 64 39680	62 * 1024 63488	1 * 32768 32768		146880
7	0	64 * 1 64	2016 * 2 4032	10416 * 8 83328	11160 * 64 714240	2604 * 1024 2666496	126 * 32768 4128768	1 * 2097152 2097152	9694080

related to seals

triangle pair MapleCore diagonal powers of two

Oak with columns multiplied by powers of two

🌊 triangle ExOak (~A289537) row sums ShortDahlia (A182176)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 2 2							3
2	1 · 1 1	3 · 2 6	1 · 4 4						11
3	1 · 1 1	7 · 2 14	7 · 4 28	1 · 8 8					51
4	1 · 1 1	15 · 2 30	35 · 4 140	15 · 8 120	1 · 16 16				307
5	1 · 1 1	31 · 2 62	155 · 4 620	155 · 8 1240	31 · 16 496	1 · 32 32			2451
6	1 · 1 1	63 · 2 126	651 · 4 2604	1395 · 8 11160	651 · 16 10416	63 · 32 2016	1 · 64 64		26387
7	1 · 1 1	127 · 2 254	2667 · 4 10668	11811 · 8 94488	11811 · 16 188976	2667 · 32 85344	127 · 64 8128	1 · 128 128	387987

OakDrop with columns multiplied by powers of two

💧 triangle ExOakDrop row sums ShortDahliaDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 2 2							2
2	0	2 · 2 4	1 · 4 4						8
3	0	4 · 2 8	6 · 4 24	1 · 8 8					40
4	0	8 · 2 16	28 · 4 112	14 · 8 112	1 · 16 16				256
5	0	16 · 2 32	120 · 4 480	140 · 8 1120	30 · 16 480	1 · 32 32			2144
6	0	32 · 2 64	496 · 4 1984	1240 · 8 9920	620 · 16 9920	62 · 32 1984	1 · 64 64		23936
7	0	64 · 2 128	2016 · 4 8064	10416 · 8 83328	11160 · 16 178560	2604 · 32 83328	126 · 64 8064	1 · 128 128	361600